Diferenciální rovnice

Ilustrace diferenciální rovnice. Šipky ukazují, jak diferenciální rovnice lokálně ovlivňuje stav, zatímco čáry zobrazují, jak jsou konkrétní řešení určena výchozími podmínkami (červené tečky).

Diferenciální rovnice je v matematice rovnice, ve které se derivace funkce objevují jako proměnné. Mnoho základních zákonů fyziky, chemie, biologie a ekonomie může být formulováno jako diferenciální rovnice. Matematická teorie diferenciálních rovnic se vyvinula společně s vědami, kde rovnice vznikají a kde výsledky nacházejí uplatnění. Různé vědecké obory často dávají vzniknout identickým problémům v diferenciálních rovnicích. V takových případech může matematická teorie sjednotit jinak zcela odlišné vědecké obory. Slavným příkladem je Fourierova teorie vedení tepla z hlediska součtů trigonometrických funkcí Fourierova řada, která nachází uplatnění v šíření zvuku, šíření elektrických a magnetických polí, rádiových vln, optiky, elasticity, spektrální analýzy záření a dalších vědeckých oborů.

Pořadí diferenciální rovnice je pořadí nejvyšší derivace, kterou obsahuje. Například diferenciální rovnice prvního řádu obsahuje pouze první derivace.

Matematici obvykle studují slabá řešení (spoléhají se na slabé derivace), což jsou typy řešení, která nemusí být všude diferencovatelná. Toto rozšíření je často nezbytné pro existenci řešení a vede také k fyzikálně rozumnějším vlastnostem řešení, jako jsou šoky v hyperbolických (nebo vlnových) rovnicích.

Typy diferenciálních rovnic

Každá z těchto kategorií je rozdělena na lineární a nelineární podkategorie. Diferenciální rovnice je lineární, pokud zahrnuje neznámou funkci a její derivace pouze na první mocninu; jinak je diferenciální rovnice nelineární. Pokud tedy označuje první derivaci rovnice u, pak rovnice

je lineární. zatímco rovnice

je nelineární. Řešení lineární rovnice, ve které se neznámá funkce nebo její derivace nebo derivace objevují v každém výrazu (lineární homogenní rovnice), mohou být sečtena nebo vynásobena libovolnou konstantou za účelem získání dalších řešení této rovnice, ale neexistuje žádný obecný způsob, jak získat rodiny řešení nelineárních rovnic, kromě případů, kdy vykazují symetrie; viz symetrie a invarianty. Lineární rovnice se často objevují jako aproximace nelineárních rovnic a tyto aproximace jsou platné pouze za omezených podmínek.

Teorie diferenciálních rovnic úzce souvisí s teorií diferenciálních rovnic, ve které souřadnice předpokládají pouze diskrétní hodnoty a vztah zahrnuje hodnoty neznámé funkce nebo funkcí a hodnoty v blízkých souřadnicích. Mnoho metod výpočtu numerických řešení diferenciálních rovnic nebo studia vlastností diferenciálních rovnic zahrnuje aproximaci řešení diferenciální rovnice řešením odpovídající diferenciální rovnice.

Studium diferenciálních rovnic je široký obor jak v čisté, tak v aplikované matematice. Čistí matematici studují typy a vlastnosti diferenciálních rovnic, například zda existují či neexistují řešení, a pokud existují, zda jsou jedinečné. Aplikovaní matematici kladou důraz na diferenciální rovnice z aplikací a kromě otázek existence/jedinečnosti se také zabývají důsledným zdůvodňováním metod pro aproximaci řešení. Fyzici a inženýři se obvykle více zajímají o výpočty aproximativních řešení diferenciálních rovnic a obvykle se méně zajímají o zdůvodňování toho, zda se tyto aproximace skutečně blíží skutečným řešením. Tato řešení se pak používají k simulaci nebeských pohybů, návrhu mostů, automobilů, letadel, kanalizací atd. Často tyto rovnice nemají řešení uzavřených forem a jsou řešeny pomocí numerických metod.

Studium stability řešení diferenciálních rovnic je známé jako teorie stability.

Známé diferenciální rovnice